麦克劳林展开式的魔法之一，求0的98阶导数，99阶导数等高阶导数

原标题：麦克劳林展开式的魔法之一，求0的98阶导数，99阶导数等高阶导数

如果要你求函数f(x)=e^(-x^2/2)关于0的98阶导数值，99阶导数值，甚至更高阶的导数值，你会求吗？即：

已知f(x)=e^(-x^2/2), 求f^(98)(0)与f^(99)(0).

分析：直接求f(x)的98阶和99阶导函数，然后将x=0代入，这样做是很不现实的。当然，有兴趣也可以试一试。

这里我们可以利用f(x)的泰勒展开式各项系数f^(n)(x0)/n!，在x0=0时，对应麦克劳林展开式的项的系数相等，来解决这个问题。

首先，要得到f(x)的麦克劳林展开式，可以用换元法，根据e^x的麦克劳林公式：

e^u=1+u+u^2/2+u^3/3!+……+u^n/n!+o(u^n),

将u=-x^2/2代入上式，就可以得到f(x)的麦克劳林展开式：e^(-x^2/2)=1-x^2/2+(-x^2/2)^2/2+(-x^2/2)^3/3!+……+(-x^2/2)^n/n!+o((-x^2/2)^n),

化简得到f(x)=1-x^2/2+x^4/(2^2*2)-x^6/(2^3*3!)+……+(-1)^n*x^(2n)/(2^n*n!)+o(x^(2n)).

这里有一点非常重要，就是f(x)的麦克劳林展开式中，还有n项为0，它们都是奇数次项，也就是所有奇数次项都为0. 其中98次项的系数是(-1)^49/(2^49*49!), 99次项的系数是0.

又由泰勒公式：f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f”(x0)(x-x0)^2/2+……+f^(n)(x-x0)^n/n!+o(x^(n)),

其中98次项的系数是f^(98)(0)/98!，99次项的系数是f^(99)(0)/99!，因此，当x0=0时，就有

f^(98)(0)/98!=(-1)^49/(2^49*49!)；f^(99)(0)/99!=0. 这就可以解得f^(98)(0)=-98!/(2^49*49!), f^(99)(0)=0.

下面组织解题过程：

解：由e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+……+x^n/n!+o(x^n)得,

e^(-x^2/2)=1-x^2/2+(-x^2/2)^2/2+(-x^2/2)^3/3!+……+(-x^2/2)^n/n!+o((-x^2/2)^n)

=1-x^2/2+x^4/(2^2*2)-x^6/(2^3*3!)+……+(-1)^n*x^(2n)/(2^n*n!)+o(x^(2n)).

由泰勒公式系数的定义，可得：f^(98)(0)/98!=(-1)^49/(2^49*49!)；f^(99)(0)/99!=0.

解得f^(98)(0)=-98!/(2^49*49!), f^(99)(0)=0.

练一练：运用麦克劳林公式，试求sin^(99)(0).

只要能够完成上面这个“练一练”，你基本就掌握这个方法了。返回搜狐，查看更多

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